06.06.11 06:29 Uhr
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Mathematik: Collatz-Vermutung möglicherweise bewiesen

Die so genannte Collatz-Vermutung geht auf den gleichnamigen deutschen Mathematiker zurück, der bereits im Jahre 1937 eine mathematische Fragestellung formulierte. Das Problem beschäftigt sich mit der Fortführung von Zahlenreihen, deren Beginn immer von einer natürlichen Zahl markiert wird.

Abhängig davon, ob die Anfangszahl gerade oder ungerade ist, wird sie entweder halbiert (x/2) oder mit Drei multipliziert und dann Eins addiert (3*x+1). Diese Prozedur wiederholt man ebenfalls mit dem Ergebnis der Rechnungen. Collatz vermutete, dass am Schluss letztendlich immer die Zahl Eins steht.

Diese Vermutung verlangt nach einen korrekten Beweis, der bis dato noch nicht erbracht wurde, auch wenn Supercomputer sie schon für sehr große Zahlen bestätigen konnten. Der Mathematiker Gerhard Opfer aus Hamburg könnte jetzt einen Beweis erarbeitet haben. Klarheit wird aber erst die Prüfung durch Experten bringen.


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WebReporter: alphanova
Rubrik:   Wissenschaft
Schlagworte: Problem, Zahl, Lösung, Mathematik, Vermutung
Quelle: www.astropage.eu

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24 User-Kommentare Alle Kommentare öffnen

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06.06.2011 06:29 Uhr von alphanova
 
+20 | -2
 
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Die "Rechenregeln" für dieses mathematische Problem sind auch für Laien verständlich, im Gegensatz zu den berühmten Jahrhundert-Problemen, die extrem abstrakt sind. Trotz der scheinbaren Einfachheit der Fragestellung ist das Problem seit seiner Formulierung ungelöst... Bin gespannt ob der Lösungsvorschlag von Gerhard Opfer anerkannt wird und das Problem damit als gelöst gilt.
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06.06.2011 07:06 Uhr von Jacdelad
 
+7 | -0
 
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Die Vermutung klingt irgendwie logisch. Aber war wäre Mathematik, wenn man keinen 100%igen Beweis bräuchte und es nur auf Indizien (sprich Stichproben) ankommen würde. :)
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06.06.2011 08:44 Uhr von Daaan
 
+3 | -2
 
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versteh ich nicht: bin glaub zu blöd. wie soll das ablaufen. mal 3bringt die zahl doch immer höher als durch zwei.
oder hat mal wer nen Beispiel

Quelle hat wie immer geholfen

[ nachträglich editiert von Daaan ]
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06.06.2011 08:55 Uhr von DerN1cK
 
+3 | -1
 
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Klingt interessant: hoffe der Beweis verhärtet sich. Aber wofür ist das dann genau gut? Kann man damit etwas sinnvolles machen oder geht es hier um "schön zu wissen, dass" ?
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06.06.2011 09:16 Uhr von HansHose
 
+2 | -0
 
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@dern1ck: naja, mathematik wird ueberall benutzt... natuerlich kanns direkte anwendungsmoeglichkeiten geben - einfallen wuerd mir keine, bin aber auch kein mathematiker...

darf man aber auch nicht so sehn - falls das keinen direkten sinn hat, kanns gut sein das der beweis dazu fuehrt das andere dinge bewiesen koennen die dann anwendungsnutzen haben...

abgesehn davon - ´schoen zu wissen´ is grund genug - haette man bei jeder forschung immer nach dem direkten sinn gefragt wuerden wir heute in einer voellig anderen welt leben...

[ nachträglich editiert von HansHose ]
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06.06.2011 09:16 Uhr von Jacdelad
 
+3 | -0
 
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@Daan: Wenn das Ergebnis gerade ist, dann greift die x/2-Regel. Danach wird wieder geschaut ob das Ergebnis gerade oder ungerade ist und die entsprechende Regel angewendet.

Ich frag mich gerade warum man sich sowas ausdenkt und welchen Nutzen das hat. :D
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06.06.2011 10:01 Uhr von Essig_Gurke
 
+4 | -0
 
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Problem bekannt: Für dieses Problem mussten wir in einer Informatikarbeit einen Quelltext entwickeln.
War ziemlich einfach, wobei das Problem der Beweisbarkeit in diesem Fall wohl wegen der größe der Zahlen bestand.
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06.06.2011 10:18 Uhr von Jacdelad
 
+3 | -0
 
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@Essig-Gurke: Ein Programm dazu zu entwickeln ist nicht schwer.
Hab mal schnell was zusammengeschustert, wer will kann testen: http://jacdelad.bplaced.net/...

Hier der Quelltext (XProfan):
declare p$,p&,q&
cls
Set("Decimals",0)
Print "Bitte gib eine Zahl an:"
Input p$
p&=Val(P$)
Print "Startwert: "+Str$(p$)
while p&>1
if p&/2=Int(p&/2)´Gerade
q&=p&/2
Print "Gerade -> "+Str$(p&)+"/2="+Str$(q&)
Else´Ungerade
q&=3*p&+1
Print "Ungerade -> 3*"+Str$(p&)+"+1="+Str$(q&)
endif
p&=q&
endwhile
while 1
waitinput
EndWhile

Die Schwierigkeit ist ja es mathematisch und allgemein gültig zu beweisen. :)
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06.06.2011 10:27 Uhr von owenhart
 
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Wusste: garnicht das heute noch Leute in Profan coden :)
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06.06.2011 10:34 Uhr von Minka51
 
+0 | -25
 
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06.06.2011 10:48 Uhr von Jacdelad
 
+1 | -0
 
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@owenhart: Doch, sogar sehr viele. Machst du das auch? XProfan 12 ("Xprofan X2") ist gerade erst erschienen und wir haben eine riesengroße Community. Wenn du mir ne PM hinterlässt, dann geb ich dir gern die Webaddressen. :)
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06.06.2011 11:07 Uhr von owenhart
 
+1 | -0
 
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@Jacdelad: Damals glaub Profan 5/6 war das , heute nicht mehr... Eher .net usw.
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06.06.2011 11:08 Uhr von MC_Kay
 
+0 | -1
 
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Problem: Ich sehe erstmal ein Problem in der Definition der Menge der natürlichen Zahlen. Wenn man nun die 0 mit zu der Menge hinzuzählt müsste man sie als gerade Zahl definieren.

Nun müsste man laut Vorschrift diese durch 2 dividieren.
also 0/2 = 0
0/2 = 0
....
man kommt nie auf 1

Nur wenn man sie als ungerade Zahl definiert ist es schon möglich:
3*0 +1 = 1

Das würde aber der Reihe
....
7 (ungerade)
6 (gerade)
5 (ungerade)
4 (gerade)
3 (ungerade)
2 (gerade)
1 (ungerade)
0 (gerade) ????

wiedersprechen.


EDIT!!

Was mir eben aufgefallen ist, warum ausgerechnet 3x+1?
Habe das mal eben zusätzlich mit x+1 durchgespielt und klappt (bis 10.000 getestet) problemlos und führt auf 1. ^^

[ nachträglich editiert von MC_Kay ]
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06.06.2011 11:30 Uhr von Jacdelad
 
+1 | -1
 
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@MC_Kay: Die Null ist hier wieder ein Sonderfall. :) Siehe Wikipedia:
"Bei dem Problem geht es um Zahlenfolgen, die nach einem einfachen Bildungsgesetz konstruiert werden:

Beginne mit irgendeiner natürlichen Zahl n > 0.
Ist n gerade, so nimm als nächstes n / 2,
ist n ungerade, so nimm als nächstes 3n + 1.
"
Und so weiter. :)
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06.06.2011 12:13 Uhr von xchrome
 
+0 | -0
 
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Logisch: Wenn man jede ungerade Zahl durch die "+1" Regel wieder in eine gerade Zahl umwandelt und diese wieder halbiert ist es im Prinzip unvermeidlich dass man irgendwann wieder bei 1 landet. Die ursprüngliche Zahlengröße spielt dabei ansich keine Rolle - es ist nur eine Frage der Zeit sie zu berechnen.

Aber da kein Computer mit unendlich großen Zahlen umgehen kann, wird diese Theorie wohl nie zu 100% beweisbar sein, obwohl sie von der Sache her total logisch ist. Da kann man genauso versuchen, die letzte Zahl von PI zu berechnen.. es wird nicht gehen. ^^
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06.06.2011 13:23 Uhr von AnotherHater
 
+4 | -2
 
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Das ist genau der Grund warum ich als Informatiker manchmal mit Mathematikern nicht klar komme. Wir lösen gegebene Probleme, sie denken sich aus Langeweile welche aus. :D
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06.06.2011 13:34 Uhr von alphanova
 
+11 | -0
 
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passend dazu (alt aber gut*g*)

MATHEMATIKER
jagen Elefanten, indem sie nach Afrika gehen, alles entfernen, was nicht Elefant ist, und ein Element der Restmenge fangen.

ERFAHRENE MATHEMATIKER
werden zunächst versuchen: die Existenz mindestens eines eineindeutigen Elefanten zu beweisen, bevor sie mit Schritt 1 als untergeordneter Übungsaufgabe fortfahren.

MATHEMATIKPROFESSOREN
beweisen die Existenz mindestens eines eineindeutigen Elefanten und überlassen dann das Aufspüren und Einfangen eines tatsächlichen Elefanten ihren Studenten.

INFORMATIKER
jagen Elefanten, indem sie Algorithmus A ausführen:

Algorithmus A

1. gehe nach Afrika
2. beginne am Kap der guten Hoffnung
3. durchkreuze Afrika von Süden nach Norden bidirektional in Ost-West-Richtung

für jedes Durchkreuzen gilt:
a) fange jedes Tier, das du siehst
b) vergleiche jedes gefangene Tier mit einem als Elefant bekannten Tier
c) halte an bei Übereinstimmung

ERFAHRENE PROGRAMMIERER
verändern Algorithmus A, indem sie ein als Elefant bekanntes Tier in Kairo plazieren, damit das Programm in jedem Fall korrekt beendet wird.

ASSEMBLER-PROGRAMMIERER
bevorzugen die Ausführung von Algorithmus A auf Händen und Knien.

SQL-PROGRAMMIERER
verwenden folgenden Ausdruck: SELECT Elefant FROM Afrika.

NATURAL-PROGRAMMIERER
lassen sich von ADABAS einen Elefanten bringen.

INGENIEURE
jagen Elefanten, indem sie nach Afrika gehen, jedes graue Tier fangen, das ihnen über den Weg läuft und es als Elefant nehmen, wenn das Gewicht nicht mehr als 15% von dem eines vorher gefangenem Elefanten abweicht.

WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
jagen keine Elefanten. Aber sie sind fest davon überzeugt, daß die Elefanten sich selber stellen würden, wenn man ihnen nur genug bezahlt.

STATISTIKER
jagen das erste Tier, das sie sehen n-mal und nennen es Elefant.

UNTERNEHMENSBERATER
jagen keine Elefanten. Und viele haben noch niemals überhaupt irgendetwas gejagt. Aber man kann sie stundenweise engagieren, um sich gute Ratschläge geben zu lassen.

SYSTEMANALYTIKER
wären theoretisch in der Lage, die Korrelation zwischen Hutgröße und Trefferquote bei der Elefantenjagd zu bestimmen, wenn ihnen nur jemand sagen würde, was ein Elefant ist.



http://www.koepp-berlin.de/...
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06.06.2011 14:44 Uhr von AnotherHater
 
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@alphanova: In der Quelle sind einige gute Witze dabei. *daumen hoch*
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06.06.2011 17:42 Uhr von IfindU
 
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MC_kay: Man nimmt nicht x+1, weil sogar ich beweisen kann, dass das gegen 0 geht. Aus dem einfachen Grund, weil wenn x gerade ist wird es stark verkleinert (durch 2) und das +1 erhöht es nur ein wenig, es ist wieder gerade, und halbieren reduziert es anschließend um mindestens 1 ( n/2 > 2/2 = 1) für jedes n > 2. Und für n = 2 ist man fast sofort fertig, für n = 1 ist man fertig.
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06.06.2011 18:20 Uhr von MC_Kay
 
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Habs mir nochmals zu Gemüte geführt.

Wenn man die Formeln annimmt:
gerade: f(x) = x(n+1) = xn/2
ungerade: g(x) = x(n+1) = axn+1
Hinweis: bei xn soll das n als Indize gelten; bei x(n+1) soll das (n+1) ebenfalls als Indize gelten.

habe ich festgestellt, dass für gerade a der Anstieg enorm ist. Wohingegen bei a=1 oder a=3 in meinen betrachteten Fällen irgendwann 1 herauskommt. Nimmt man jedoch Werte a > 3, steigt x gewaltig an.

@Jacdelad
"
Die Null ist hier wieder ein Sonderfall. :) Siehe Wikipedia:
"Bei dem Problem geht es um Zahlenfolgen, die nach einem einfachen Bildungsgesetz konstruiert werden:

Beginne mit irgendeiner natürlichen Zahl n > 0.
Ist n gerade, so nimm als nächstes n / 2,
ist n ungerade, so nimm als nächstes 3n + 1.""

Ich habe selber schon kapiert wie das gemeint war, aber von dem Ausschluss der 0 als möglichen Startwert steht in der News wie auch in der Quelle nichts. Natürlich ist es logisch, dass es bei 0 nicht klappen kann, aber wollte nur darauf hinweisen. ^^

@IfindU
"Man nimmt nicht x+1, weil sogar ich beweisen kann, dass das gegen 0 geht."
Es soll gegen 1 streben und nicht 0. ;)
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06.06.2011 20:06 Uhr von DerMaM
 
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Mathematik: in dieser Form war nie meine Staerke. Nachdem ich es drei mal lesen musste um zu verstehen was gemeint ist habe ich es probiert.

Erst mit 25, damm mit 1423, dann 17189 und zum schluß 64275.

Nach einer Weile kommt man immer auf die gleichen Zahlen. 80 oder 40, welche dann automatisch in 16 resultiert.

Interessant allemal, aber bleibt mir die Frage wofuer man dieses Wissen brauchen koennte :)
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06.06.2011 20:25 Uhr von Babykeks
 
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Man müsste ja eigentlich "nur" beweisen, dass m Man müsste ja eigentlich "nur" beweisen, dass man mit den beiden Funktionen zwangsläufig irgendwann bei einer Zweierpotenz landet...
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07.06.2011 00:10 Uhr von ZiemlichBelanglos
 
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Ah ja: Und wo ist jetzt der Beweis?
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07.06.2011 15:38 Uhr von Demnogonis
 
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Auch wenn ich damit etwas spät bin Hier noch ein Perlprogramm, was die Vermutung beweist.

# c:\strawberry\perlin\perl.exe -w

use strict;

my $zahl = <STDIN>; # Eingabe einer Zahl
chomp($zahl); # Damit das Zeichen der Entertaste nicht mitgelesen wird.

if($zahl eq undef || $zahl eq 0){
$zahl = 1;
}

while($zahl ne 1){
if($zahl%2 eq 0){
$zahl = $zahl/2;
}
else{
$zahl = 3*$zahl+1;
}
print "$zahl
";
}

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